числа Фибоначчи, математика на английском, вдохновение

Магия чисел Фибоначчи
Артур Бенжамин: Магия чисел Фибоначчи Почему мы изучаем математику? По сути, есть три причины: расчёт, применение и последняя (к сожалению, наименее важная с точки зрения времени, которое мы ей уделяем) — это вдохновение. Математика — это наука о моделях, и мы изучаем её, чтобы научиться мыслить логично, критично и творчески, но та математика, которую мы изучаем в школе чаще всего неэффективно мотивирована, и когда наши студенты спрашивают: «Почему мы это изучаем?» — то им часто приходится слышать, что это необходимо в предстоящем математическом классе или для будущих тестов. Но было бы здорово, если бы мы хоть иногда занимались математикой просто потому, что это весело или красиво или потому, что она волнует ум. Я знаю, что многие люди не имеют возможности увидеть, как это происходит, поэтому позвольте мне показать вам небольшой пример из моей любимой коллекции чисел, чисел Фибоначчи. (Аплодисменты) Да! Тут уже есть фанаты Фибоначчи. Это здорово. Эти цифры могут быть истолкованы различными способами. С точки зрения вычислений, их так же легко понять, как 1 + 1 = 2. Тогда 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, и так далее. На самом деле человек, которого мы называем Фибоначчи, носил имя Леонардо из Пизы, и эти цифры появляются в его книге Liber Abaci, которая научила западный мир методам арифметических операций, используемых сегодня. С точки зрения применений, числа Фибоначчи появляются в природе удивительно часто. Количество лепестков на цветке — это типичное число Фибоначчи. Количество спиралей на подсолнухе или ананасе также тяготеет к числу Фибоначчи. В самом деле, есть много больше применений чисел Фибоначчи, но наиболее вдохновляющими, по моему мнению, являются прекрасные цифровые образцы, которые они демонстрируют. Позвольте мне показать вам один из моих любимых. Предположим, что вы хотите возвести число в квадрат, и, честно говоря, кто не хотел бы? (Смех) Давайте посмотрим на квадраты первых нескольких чисел Фибоначчи. 1 в квадрате равно 1, 2 в квадрате — 4, 3 в квадрате — это 9, 5 в квадрате — 25 и так далее. Теперь известно, что при сложении последовательных чисел Фибоначчи вы получите следующее число Фибоначчи. Верно? Вот как они созданы. Но вы не ожидаете ничего особенного от сложения их квадратов. Но давайте проверим это. 1 + 1 = 2, и 1 + 4 = 5. И 4 + 9 = 13, 9 + 25 = 34, и да, шаблон повторяется. Фактически тут есть ещё один шаблон. Предположим, вы хотите проанализировать сложение квадратов нескольких первых чисел Фибоначчи. Давайте посмотрим, что мы получим. Так что 1 + 1 + 4 = 6. Добавляем к этому 9 и получаем 15. Добавив 25, мы получаем 40. Добавив 64, мы получаем 104. Теперь посмотрите на эти цифры. Они не являются числами Фибоначчи, но если вы посмотрите на них внимательно, вы увидите, что числа Фибоначчи скрыты внутри них. Вы это видите? Я покажу вам это. 6 — это 2 × 3, 15 — это 3 × 5, 40 — это 5 × 8, 2, 3, 5, 8 — кому мы должны быть признательны? (Смех) Фибоначчи! Конечно. Обнаружить эти шаблоны было забавно, но ещё большее удовлетворение — понять, почему они являются подлинными. Давайте посмотрим на последнее уравнение. Почему квадраты 1, 1, 2, 3, 5 и 8 составляют 8 × 13? Я покажу вам это, нарисовав простую картину. Мы начнем с квадрата единицы, и рядом с этим ещё один квадрат единицы. Вместе они образуют прямоугольник один на два. Ниже я поставлю квадрат 2 на 2, потом квадрат 3 на 3, под ним квадрат 5 на 5, и затем квадрат 8 на 8, получается один гигантский прямоугольник, правильно? Теперь позвольте мне задать вам простой вопрос: какова площадь прямоугольника? С одной стороны, это сумма площадей квадратов внутри него, правильно? Так же, как мы создали его. Это 1 в квадрате плюс 1 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 3 в квадрате плюс 5 в квадрате плюс 8 в квадрате. Верно? Это площадь. С другой стороны, поскольку это прямоугольник, площадь равна его высоте, умноженной на ширину. Высота равна 8, а ширина — 5 + 8, чем и является следующее число Фибоначчи 13. Верно? Таким образом, площадь равна 8 × 13. Так как мы правильно рассчитали площадь двумя разными способами, числа должны быть одинаковыми, и вот почему квадраты 1, 1, 2, 3, 5 и 8 складываются в 8 × 13. Если мы продолжим этот процесс, мы создадим прямоугольники размером 13 на 21, 21 на 34 и так далее. Теперь проверьте это. Если вы разделите 13 на 8, вы получите 1,625. И если вы разделите большее число на меньшее число, то эти коэффициенты становятся всё ближе и ближе к числу 1.618, известному многим людям как Золотое сечение, числу, которое очаровывало математиков, учёных и художников на протяжении многих веков. Я показываю всё это вам потому, что много что в математике имеет красивые стороны, которые, боюсь, не получают достаточного внимания в наших школах. Мы тратим много времени на изучение вычислений, но давайте не забывать и о применении, которое включает, возможно, наиболее важное применение — научиться думать. Если я мог бы обобщить это в одном предложении, это звучало бы так: математика — это не только поиск решений для Х, но также и поиск причин таких решений. Большое спасибо. (Аплодисменты)
Arthur Benjamin: The magic of Fibonacci numbers So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration. Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause) Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great. Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well. In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter) Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues. In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them. Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate? (Laughter) Fibonacci! Of course. Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right? Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13. Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on. Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries. Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think. If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why. Thank you very much. (Applause)
0.4 12.41 0 12.41 15.450000000000001 1 15.450000000000001 18 2 18 19.63 3 19.63 21.529999999999998 4 21.529999999999998 24.209999999999997 5 24.209999999999997 26.32 6 26.32 28.24 7 28.24 30.509999999999998 8 30.509999999999998 33.87 9 33.87 36.4 10 36.4 39.32 11 39.32 41.64 12 41.64 43.07 13 43.07 44.74 14 44.74 46.699999999999996 15 46.699999999999996 49.97 16 49.97 51.769999999999996 17 51.769999999999996 54.29 18 54.29 57.24 19 57.24 59.33 20 59.33 61.05 21 61.05 63.37 22 63.37 65.2 23 65.2 67.54 24 67.54 70.27000000000001 25 70.27000000000001 72.32000000000001 26 72.32000000000001 73.64 27 73.64 75.75 28 75.75 77.63000000000001 29 77.63000000000001 80.34 30 80.34 82.02000000000001 31 82.02000000000001 84.57000000000001 32 84.57000000000001 86.57000000000001 33 86.57000000000001 89.59 34 89.59 91.11 35 91.11 93.29 36 93.29 96.47 37 96.47 99.52000000000001 38 99.52000000000001 101.17 39 101.17 104 40 104 105.72 41 105.72 107.9 42 107.9 109.76 43 109.76 111.5 44 111.5 113.36 45 113.36 116.13000000000001 46 116.13000000000001 117.54 47 117.54 119.94000000000001 48 119.94000000000001 123.44000000000001 49 123.44000000000001 126 50 126 128.73000000000002 51 128.73000000000002 130.93 52 130.93 133.15 53 133.15 135.84 54 135.84 138.08 55 138.08 139.93 56 139.93 141.96 57 141.96 144.28 58 144.28 147.45000000000002 59 147.45000000000002 149.35 60 149.35 152.18 61 152.18 154.21 62 154.21 155.61 63 155.61 157.38 64 157.38 160.46 65 160.46 161.8 66 161.8 163.8 67 163.8 166.56 68 166.56 168.76000000000002 69 168.76000000000002 171.97 70 171.97 174.63 71 174.63 176.25 72 176.25 178.1 73 178.1 180.59 74 180.59 182.20000000000002 75 182.20000000000002 184.34 76 184.34 187.35 77 187.35 189.56 78 189.56 192.35 79 192.35 194 80 194 196.39000000000001 81 196.39000000000001 198.27 82 198.27 200.15 83 200.15 202.33 84 202.33 204.4 85 204.4 208.13 86 208.13 210.19 87 210.19 213.12 88 213.12 214.3 89 214.3 216.46 90 216.46 220.24 91 220.24 222.72 92 222.72 224.68 93 224.68 226.57 94 226.57 230.44 95 230.44 232.98000000000002 96 232.98000000000002 235.95000000000002 97 235.95000000000002 238.63 98 238.63 242.8 99 242.8 246.21 100 246.21 248.75 101 248.75 251.55 102 251.55 253.55 103 253.55 255.46 104 255.46 258.03 105 258.03 259.95 106 259.95 263.60999999999996 107 263.60999999999996 265.58 108 265.58 268.10999999999996 109 268.10999999999996 269.96999999999997 110 269.96999999999997 271.33 111 271.33 273.5 112 273.5 275.73999999999995 113 275.73999999999995 278.34 114 278.34 280.19 115 280.19 282.52 116 282.52 286.16999999999996 117 286.16999999999996 288.21 118 288.21 291.12 119 291.12 295.04999999999995 120 295.04999999999995 298.41999999999996 121 298.41999999999996 300.67999999999995 122 300.67999999999995 302.37 123 302.37 304.53999999999996 124 304.53999999999996 307.92999999999995 125 307.92999999999995 310.21999999999997 126 310.21999999999997 312.59 127 312.59 316.57 128 316.57 318.96999999999997 129 318.96999999999997 320.38 130 320.38 322.57 131 322.57 324.60999999999996 132 324.60999999999996 328.03999999999996 133 328.03999999999996 330.90999999999997 134 330.90999999999997 333.56 135 333.56 336.87 136 336.87 339.46 137 339.46 342.71 138 342.71 344.94 139 344.94 346.96 140 346.96 348.92999999999995 141 348.92999999999995 350.95 142 350.95 352.51 143 352.51 355.34999999999997 144 355.34999999999997 358.09999999999997 145 358.09999999999997 361.56 146 361.56 363.63 147 363.63 365.59 148 365.59 367.04999999999995 149 367.04999999999995 370.40999999999997 150 370.40999999999997 373.34 151 373.34 376.34 152

Добавить комментарий